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Bonjour,
[tex]\forall n \in \mathb{N}\\ \\A_n=(n+1)(n+2)...(2n-1)2n\\A_{n+1}=(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)\\ \\\dfrac{A_{n+1}}{A_n}=\dfrac{(2n+1)(2n+2)}{n+1}=2(2n+1)[/tex]
Montrons que [tex]A_n[/tex] est un multiple de [tex]2^n[/tex]
Etape 1 - Initialisation
[tex]A_1=2\\\\2^1=2[/tex]
C'est vrai au rang 1
Etape - Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang k et montrons le au rang k+1
Comme
[tex]A_{k+1}=2(2k+1)A_k[/tex]
et que [tex]A_k[/tex] est un multiple de [tex]2^k[/tex] par hypothèse de récurrence, nous avons donc que [tex]A_{k+1}[/tex] est un multiple de [tex]2 \times 2^k=2^{k+1}[/tex]
Etape 3 - conclusion
Nous venons de démontrer que pour tout n entier non nul
[tex]A_n[/tex] est un multiple de [tex]2^n[/tex]
Merci