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Bonjour, j'ai besoin d'aide sur cette exercice. Merci d'avance.
ABCD est un carré de côté 6 cm et de centre O. Soit Mun point du segment [AB] et N le point du segment [BC]tel que : AM = BN. Pour x e[0;6], on note : AM = x f(x) l'aire du triangle OMN. Montrer que le triangle OMN est rectangle et isocèle. 1. Montrer que le triangle OMN est rectangle et isocèle. 2. Montrer que f(x) = 1/2(3-x)² + 9/2. 3. Développer f(x). 4. Déterminer les positions du point M telles que :a. l’aire du triangle OMN soit égale au quart de l’aire du carré ;b. l’aire du triangle OMN soit égale à 5 cm2 ;c. l’aire du triangle OMN soit minimale.5. Exprimer en fonction de x l’aire du triangle BMN.En déduire que l’aire du quadrilatère OMBN est constante quelle que soit la position du point M.

Sagot :

Maagikmatt

Réponse :

ABCD est un carré

O son centre et M ∈ [AB] et N ∈ [BC] avec AM = BN = x

f(x) = Aire OMN

1) Si ABCD est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et de memes longueurs.

AOB = BOC = 90° et AOB = AOM + MOB et BOC = BON + NOC

Or si AM = BN, alors AOM = BON et MOB = NOC

Donc MON = AOC - (AOM + NOC) = AOC - AOB = 180° - 90° = 90°

De meme, si AM = BN = x, si AO = BO et si AOM = BON, Alors OM = ON

Donc MON est un triangle rectangle isocèle en O

2) Aire triangle MON

On utilise le theoreme de pythagore ds le triangle MBN rectangle en B

MN² = MB² + BN² = ((AB-x)² + (x)² = ((6-x)² + x²) = 36 - 12x + 2x² = 2 (x² - 6x + 18)

On utilise le theoreme de Pythagore dans le triangle rectangle isocele MON

MN² = 0M² + ON² = 2 * OM²

OM² = 1/2 MN² = x² - 6x + 18

Donc Aire triangle MON = OM*ON/2 = OM² / 2 = 1/2 * (x² - 6x + 18)

3) Soit f(x) = 1/2(3-x)² + 9/2

f(x) = 1/2 * (9 + x² - 6x + 9)

f(x) = 1/2 * (x² - 6x + 18)

4a) On cherche x tel que Aire OMN = 1/4 Aire ABCD

Aire ABCD = 6*6 = 36 cm²

Aire OMN = 36/4 = 9 cm²

Cela revient à Résoudre 1/2 (x² - 6x + 18) = 9

Soit x² - 6x = x (x-6) = 0

Pour x = 0 et pour x = 6 c'est a dire quand le triangle MON = triangle AOB = triangle BOC (superposition avec les diagonales du carré ABCD)

4b) Cela revient à Résoudre 1/2 (x² - 6x + 18) = 5 cm²

Soit x² - 6x + 8 = 0

Delta = 36 - 4(1)(8) = 4 et √Delta = 2

x1 = (-(-6) - 2) / 2 = 2

x2 = (-(-6) + 2) / 2 = 4

x² - 6x + 8 = (x-2)*(x-4) = 0 pour x = 2 ou pour x = 4

4c) Cela revient à Résoudre f(x) = 1/2 (x² - 6x + 18)

f'(x) = 1/2 * (2x -6) = x - 3

f'(x) = 0 pour x = 3 soit quand M est milieu de AB

f(3) = 1/2 ( 3² - 6(3) + 18) = 4,5 cm²

5) Aire du triangle BMN = BM * BN / 2

Aire = (AB-x) * x / 2 = (6-x)(x)/2 = (6x - x²) / 2

Aire OMBN = Aire triangle MOB + Aire triangle BON

Or Aire triangle BON = Aire triangle AOM

Soit Aire OMBN = Aire AOM + Aire MOB = Aire AOB = 1/4 Aire carré ABCD

Soit Aire OMNB = 9cm² quelquesoit la valeur de x

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