[tex](2x^2+x)^2-16(2x^2+x)=-60 \\ (2x^2+x)^2-16(2x^2+x)+60=0[/tex]
On pose [tex]t=2x^2+x[/tex]
On substitue la nouvelle variable, on obtient [tex]t^2-16t+60=0[/tex]
[tex]D=b^2-4ac \\ D=(-16)^2-4\times1\times60 \\ D=256-240 \\ D=16[/tex]
Comme D > 0 l'équation a deux racines réelles distinctes.
[tex]t_1_,_2= \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a} \\ \\ t_1= \frac{16-4}{2\times1}=6 \ ; \ t_2= \frac{16+4}{2\times1} =10[/tex]
Donc l'équation auxiliaire a pour solution t = 6 ; t = 10.
Ce qui nous conduit à deux cas :
1) [tex]2x^2+x=6[/tex]
[tex]2x^2+x-6=0 \\ \\ D=b^2-4ac \\ D=1^2-4\times2\times(-6) \\ D=1+ 48 \\ D=49[/tex]
⇒ D > 0
[tex]x_1_,_2= \frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \\ \\ x_1= \frac{-1-7}{2\times2} =-2 \\ \\ x_2= \frac{-1+7}{2\times2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} [/tex]
Réponse au cas 1 : [tex]x=-2 \ ; \ x = \frac{3}{2} [/tex]
2) [tex]2x^2+x=10[/tex]
[tex]2x^2+x-10=0 \\ \\ D=b^2-4ac \\ D=1^2-4\times2\times(-10) \\ D=1+80 \\ D=81[/tex]
⇒ D > 0
[tex]x_1_,_2= \frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \\ \\ x_1= \frac{-1-9}{2\times2} =- \frac{10}{4} =- \frac{5}{2} \\ \\ x_2= \frac{-1+9}{2\times2} = \frac{8}{4} =2[/tex]
Réponse au cas 2 : [tex]x=- \frac{5}{2 } \ ; \ x=2[/tex]
[tex]S=[/tex] { [tex]- \frac{5}{2} \ ; \ -2 \ ; \ \frac{3}{2} \ ; \ 2[/tex] }
Sauf erreur... =)
