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Louharuno
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On considère la figure ci-contre ; l'unité de mesure est le centimètre. 
Le triangle OBE est rectangle en O. 
Les points O,F et B sont alignés, ainsi qu les points O,D,A et E. 
La droite (DF) est parallèle à la droite (AB). 
H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB. 
On donne : OA = 6 ; OB = OE = 8 et OD = 4 
2. calculer la valeur exacte de AB
3.calculer les valeurs exactes de OF et de DF
4. a) Calculer l'aire du triangle OAB. 
   b) Exprimer cette aire en fonction de OH ; en déduire que OH = 4,8 
5. calculer les valeurs exactes de BD et de EB 

Sagot :

2) OAB est rectangle en O donc on applique Pyhagore :
AB²=OA²+OB²=6²+8²=36+64=100
Donc AB=10

3) DF et AB sont parallèles donc on applique le théorème de Thalès dans le triangle OAB:
OF/OB=OD/OA=DF/AB
On en déduit que OF=OB*OD/OA=8*4/6=16/3
Et DF=AB*OD/OA=10*4/6=20/3

4a) OAB est rectangle donc :
Aire de OAB=1/2*OA*OB=1/2*6*8=24

4b) On peut aussi exprimer l'aire de OAB par la formule classique 1/2*Base*Hauteur:
Aire OAB=1/2*OH*AB=1/2*10*OH=5*OH
On a donc 5*OH=24 d'où OH=24/5=4,8

5) Dans le triangle ODB, on applique Pythagore :
DB²=OD²+OB²=4²+8²=16+64=80
Donc DB=√80=4√5
Dans le triangle OEB, on applique Pythagore :
EB²=OB²+OE²=8²+8²=128
Donc EB=√128=8√2
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