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Bonjour, j'ai un devoir à rendre pour demain qui est :

A tout point M du segment [AB], on associe les triangles équilatéraux AMP et MBQ.

     1. Déterminer la position du point M pour que l'aire du triangle soit maximale.

     2. Déterminer la position du point M pour que l'aire du quadrilatère ABQP soit minimale.

(O pourra choisir x=distance AM et prendre AB=1 unité de longueur)

Merci d'avance,

Juju !

Sagot :

Caylus
La hauteur d'un tr équilatéral en fonction du côté a vaut a/2*√3. (Pythagore)
Soit x=|AB|
1-x=|MB|
Soit h1 la hauteur du tr AMP, h1=√3 *x /2.
h2 la hauteur du tr MBQ ,h2=√3*(1-x) /2 .
Soit h3 la hauteur du tr MPQ issue de P, comme angle PMQ=60°,
h3=x*sin 60°= √3 * x /2
Aire tr PMQ=√3/4 * x * (1-x)
dont la dérivée s'annule pour 1-2x=0 ou x=1/2.
Un étude de variation montrera un max (dérivée seconde <0)
2)
Aire ABQP=Aire AMP+Aire MBQ+ Aire PMQ
= √3 *x/2 *x /2 + √3 *(1-x) /2 * (1-x) /2+ √3 *x*(1-x)/4
=√3/4 (x² + 1+x²-2x+ x-x²)=√3 /4 *(x²-x+1)
dont la dérivée s'annule pour 2x-1=0 ou x=1/2.
Un étude de variation montrera un min (dérivée seconde >0)






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