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Une entreprise fabrique des sacs de luxe en cuir. Chaque jour, elle produit un nombre x de sacs, tels que 0 ≤ x ≤ 70. Le coût, exprimé en euros, de la production journalière de x sacs est donné par la fonction f définie sur I = [0;70] par : f(x) = x³ - 90x² + 2700x Cf est la courbe représentant f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 10 sacs en abscisses et 1 cm pour 10000 euros en ordonnées.)
1/ Etudier le sens de variation de la fonction f sur I. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 30. 2/ Montrer que la courbe Cf admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées. 3/ Construire Cf et T.
On suppose que toute la production est vendue au prix de 900 euros l'unité. on note g(x) la recette journalière. 4/ Déterminer l'expression de g(x). 5/ Tracer, sur le graphique précédent, la courbe Cg représentant la fonction g. 6/ Le bénéfice journalier total h(x) est égal à h(x) = g(x) - f(x). a. Déterminer h'(x), étudier son signe et établir le tableau de variation de h sur [0;70]. b. Déterminer le nombre de solutions de l'équation h(x) = 0. A l'aide de la calculatrice, déterminer les valeurs exactes de ces solutions. c. Déterminer le signe de h(x) sur [0;70] d. A quel intervalle doit appartenir x pour que l'entreprise réalise des bénéfices positifs?
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