bonjour
Montrer que si p est un nombre premier alors p est premier avec p+1​
soient 2 entiers p et p + 1
• supposons que p et p+1 ne soient pas premiers entre eux (1)
alors il existe en entier k > 1 qui est diviseur à la fois de p et de p + 1
k étant diviseur de p et de p + 1 est diviseur de leur différence
(p + 1) - p soit 1
k est donc un diviseur de 1
or le seul diviseur de 1 est 1
• Il n'existe pas d'entier supérieur à 1 qui divise à la fois p et p+1
la supposition (1) est fausse
p et p+1 sont premiers entre eux
remarque :
ce raisonnement ne fait pas intervenir l'hypothèse p est premier
en fait il prouve que 2 entiers consécutifs quelconques p et p + 1 sont
toujours premiers entre eux
