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On considère la pyramide SABCD où la base ABCD est un carré (la pyramide n'est pas aplatie).
On note O le centre du carré ABCD.
On considère les points I, J, K et L définis par : AI = 3/4AB, SJ = 1/4SC, SK = 5/8SO et AL = 3/4AD.
1. Justifier que les vecteurs SA, SB et SC ne sont pas coplanaires.
2. Démontrer que les points I, J, K et L sont coplanaires.
3. En déduire la section de la pyramide SABCD par le plan (IJK). (Vous tracerez cette section sur la figure fournie
ci-dessous en laissant les traits de construction apparents).

Sagot :

Mozi

Bonjour,

1 ) Supposons que les vecteurs SA, SB et SC sont coplanaires.

Il existe donc deux nombres réels a et b tels que SC = a SA + b SB

⇔ SC = a SC + a CA + b SC + b CB

⇔ (a + b - 1) CS = a CA + bCB

Absurde puisque S appartiendrait au plan (ABC) dans ce cas.

On en déduit (raisonnement par l'absurde) que les vecteurs SA, SB et SC ne sont pas colinéaires.

2 ) KI = KS + SO + OA + AI = -5/8 SO + SO + OA + 3/4 AB

KI = 3/8 SO + OA + 3/4 AB

KJ = KS + SJ = -5/8 SO + 1/4 SC = -5/8 SO + 1/4 SO + 1/4 OC

KJ= -3/8 SO + 1/4 OC

KL = KS + SO + OA + AL = -5/8 SO + SO + OA + 3/4 AD

KL = 3/8 SO + OA + 3/4 AD

KI + KL = 3/4 SO + 2 OA + 3/4 AC

KI + KL = 3/4 SO - 2 OC + 3/2 OC

KI + KL = 3/4 SO - ½ OC

KI + KL = -2 (-3/8 SO + 1/4 OC)

KI + KL = -2 KJ

Les vecteurs KI, KJ et KL sont coplanaires et le point I, J, K et L le sont ainsi à leur tour.

3) PJ

View image Mozi
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