Les triangles ABC et JIC sont semblables. car:
AC || JC, BC || IC , l'angle ACB est commun.
et les rapports des cotés : AC/JC = BC/IC = 2
Par la théorème de Thalle, AB/JI = AC/JC=BC/IC = 2
AB = 2 JI = 2 AK => JI = AK. ---- (1)
Car les triangles sont semblables, AB || JI => AK || JI --- (2)
donc, par (1) et (2) , vecteur AK = vecteur JI
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On peut prouver aussi que
vecteur BI = vecteur KJ = vecteur IC et
vecteur BK = vecteur IJ = vecteur KA
vecteur AJ = vecteur JC = vecteur KI
vecteur AI = vecteur AJ + vecteur JI -- (3)
vecteur BJ = vecteur BK + vecteur KJ = vec IJ + vec KJ -- (4)
vecteur CK = vecteur CI + vecteur IK = vec JK + vec IK -- (5)
par (3), (4) et (5) :
vec AI + vec BJ + vec CK =
= (vec AJ + vec JK) + (vec JI + vec IJ) + (vec KJ + vec IK)
= vec AK + 0 + vec KJ + vec IK
= vec AJ + vec IK
= vec AJ - vec KI = vec AJ - vec AJ
= 0
