Réponse:
Voici les réponses aux différentes questions de ce devoir :
1. (a) Voici la figure représentant le quadrilatère ABCD avec les points I, J, K et L :
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BC
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| IJ |
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A D
KL
``
(b) En utilisant l'exercice 9 du chapitre 7, on sait que si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors il est un parallélogramme. Ici, les côtés opposés [AB] et [CD] ont la même longueur grâce aux milieux respectifs I et K, de même pour les côtés [BC] et [AD] avec les milieux J et L. Donc, le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
2. (a) Voici la figure représentant le rectangle ABCD avec les points I, J, K et L :
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BC
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| IJ |
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A D
KL
``
(b) On peut émettre la conjecture suivante : le quadrilatère IJKL est un rectangle.
(c) Pour démontrer cette conjecture, il suffit de montrer que les diagonales [IK] et [JL] sont de même longueur et qu'elles se coupent en leur milieu. Comme ABCD est un rectangle, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu S. De plus, les milieux [IK] et [JL] sont les segments [SR] et [SR] avec R étant le milieu de [AC]. Donc, les diagonales [IK] et [JL] sont de même longueur et se coupent en leur milieu, ce qui prouve que le quadrilatère IJKL est un rectangle.
3. (a) Voici la figure représentant le carré ABCD avec les points I, J, K et L :
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BC
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| IJ |
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A D
KL
``
(b) On peut émettre la conjecture suivante : le quadrilatère IJKL est un carré.
(c) Pour démontrer cette conjecture, il suffit de montrer que les côtés de IJKL sont de même longueur et que les angles opposés sont de mesure égale à 90 degrés. Comme ABCD est un carré, tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont une mesure de 90 degrés. Les points I, J, K et L étant les milieux des côtés de ABCD, ils partagent donc les mêmes caractéristiques. Donc, le quadrilatère IJKL est un carré.
4. (a) Voici la figure représentant le quadrilatère ABCD avec les points I, J, K, L, R et S :
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BC
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| IJ |
| |
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A D
KL
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R
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|
S
```
(b) On peut émettre la conjecture suivante : les milieux des segments [SR], [LJ] et [IK] sont alignés.
(c) Pour démontrer cette conjecture, on peut utiliser le théorème de Thalès. En notant M le milieu de [KL], on a :
- D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC avec les droites (SR) et (KL) :
MS / SK = AR / RB
- D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC avec les droites (LJ) et (KL) :
LM / MK = JA / AD
- D'après le théorème de Thalès dans le triangle ADC avec les droites (IK) et (KL) :
IL / LK = KA / AB
En multipliant ces trois égalités, on obtient :
(MS / SK) (LM / MK) (IL / LK) = (AR / RB) (JA / AD) (KA / AB)
Donc, par le théorème de Thalès, les milieux des segments [SR], [LJ] et [IK] sont alignés.
