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On considère la fonction f définie sur R par
f(x) = x²-2x+5.
1. Calculer f(1).
f(1)= (1)²-2(1)+5= 1-2+5= 4
2. Montrer que, pour tout réel x, f(x)=(x − 1)² +4.
(x-1)²+4= x²-x-x+1+4= x²-2x+5
3. Quel est le signe de (x-1)² pour tout réel x ? :
si x= 1 donc (x-1)²= (1-1)²= 0
si x≠ 1 , le carré est toujours positif , à l'exception de 0.
4. En déduire que ƒ admet un minimum.
la fonction de la forme ax² + bx + c, où a > 0 admet un minimum quand
x= - b/2a
f(x)= x²-2x+5 avec a= 1, b= -2 et c= 5
donc x= -b/2a= (-(-2)/2(1)= 2/2= 1
et f(1)= (1)²-2(1)+5= 1-2+5= 4
La fonction qui associe x²-2x+5 admet donc un minimum 4 pour x= 1.