Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir,
La 1a) C'est l'aire comprise entre la courbe Cn et les droites verticales d'équation x=0 et x=1
1b) I_n est décroissante et tend vers 0. Plus n augmente, plus les courbes sont l'une en dessous de l'autre et donc leur aire diminue..
2a) c'est du signe de (x-1) puisque le reste de l'expression c'est f_n et que c'est positif sur [0,1]. Or (x-1) <=0 sur [0,1]
Donc c'est négatif et In décroissante. Faut remarquer que c'est = à fn+1 - fn l'expression et si fn+1 -fn <=0 q et qui est la dérivée de In+1 - In la suite est décroissante.
2b) suite décroissante et fn(0) = 0 donc elle est minorée par 0
2c) Suite décroissante et minorée par 0, la suite In converge donc vers 0.
3a)
0<=x<=1
1+0<=x+1<=1+1
ln(1)=0 <=ln(x+1) <= ln(2) car ln est strictement croissante sur R*+.
Sur [0,1] 0<=x^n<=1 donc en multipliant on obtient : 0<=x^n.ln(x+1)<=ln(2) puisque x^n >=0 sur [0,1] ( pas de changement de sens des inégalités)
La 3c)découle de la 3b, lim In =0
En espérant ne pas m être trompé vu l'heure tardive.
