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Simba795
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Bonjour? dans mon dm de maths on me demande de montrer que Vx< 1/2x + 1/2 pour tout réel x de [0;+infini[.
J'ai tout mis d'un coté Vx- 1/2x + 1/2 < 0
Après je ne c'est pas quoi faire je fait le tableau de variation ?? avec Vx toujours positif et - 1/2x + 1/2 est négatif donc au total la fonction est négatif donc elle est décroissante. Ou es ce que je doit faire un truc avec la dérivée (1/2Vx) - 1/2 < 0, ou quelque chose qui n'a rien avoir ??
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci.

Sagot :

√x>0 donc on a 0<√x<x/2+1/2.
Comme la fonction carré est croissante sur IR+ on peut élever au carré :
x<(x+1)²/4
Soit x²+2x+1-4x>0
Soit x²-2x+1>0
Or x²-2x+1=(x-1)²
Un carré est toujours positif donc (x-1)²>0 est toujours vrai pour x ∈ [0;+∞[
Tu peux donc écrire en repartant dans l'autre sens :
(x-1)²>0 sur IR+
x²-2x+1>0
x²+2x-4x-1>0
x²+2x+1>4x
(x+1)²/4>x et comme la focntion racine carré est croissante sur IR+ on a
√x<(x+1)/2 soit √x<x/2+1/2
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