Formules de calculs à connaître
Calcul du facteur d'agrandissement :
k = Mesure agrandie / mesure initiale
Calcul du facteur de réduction
k = Mesure réduite / mesure réelle
K est un coefficient.
Montrer que le losange ABCD est un agrandissement du losange A'B'C'D'. Préciser le facteur d'agrandissement. En déduire le facteur de réduction du losange ABCD au losange A'B'C'D'.
Facteur d'agrandissement K de la grande diagonale = 12/8 = 3/2
Facteur d'agrandissent K de la petite diagonale = 5/ (10/3) = 3/2
On a pu vérifier que le coefficient d'agrandissement est de 3/2 (soit ×1,5) le même pour la petite et la grande diagonale donc le losange ABCD est un agrandissement du losange A'B'C'D'
Calculer la longueur d'un côté du losange ABCD en déduire la longueur d'un côté du losange A'B'C'D'
Quand on trace les diagonale d'un losange on obtient 4 triangles rectangles, les angles droits étant au point d'intersection de ses diagonales. On notera O ce centre.
On a donc AO = OA
et BO = OD
AC = 12 cm donc OC = 12/2 = 6 cm
BD = 5 cm donc OD = 5/2 = 2,5 cm
On applique le théorème de Pythagore pour calculer DC (un côté du losange ABCD)
DC² = OC² + OD²
DC² = 6² + 2,5²
DC² = 36 + 6,25
DC² = √42,25
DC = 6,5
La mesure d'un côté du losange ABCD est de 6,5 cm
Calcul de la mesure d'un côté du losange A'B'C'D'
calcul du facteur de réduction K = 8/12 = 2/3 et K = 10/3 / 5 = 2/3
6,5 × 2/3 ≈ 4,33
La mesure d'un côté du losange A'B'C'D' est de 4,33 cm
Donner une mesure au degré près des angle ABC et de l'angle BAD du losange ABCD. En déduire une mesure des angles du losange A'B'C'D'
Avec la trigonométrie je cherche la valeur de l'angle BAD du losange ABCD
Angle BAD = angle BAO + angle DAO
Je cherche le Cosinus de l'angle BAO
Cos angle = Côté adjacent / hypoténuse
Cos angle BAO = AO / BA = 6/6,5
Angle BAO = 0,92307692.../ cos
Angle BAO = 22,61986...°
L'angle BAD mesure donc environ 45°
L'angle B'A'D' mesure également 45° car dans un agrandissement ou une réduction les angles gardent la même mesure
Les angles BAD = B'A'D' = 45 °
Calcul de la mesure de l'angle ABC
Angle ABC = Angle ABO + CBO
Même procédé que pour le calcul précédent
Cosinus angle = côté adjacent / côté opposé
Cos angle ABO = BO/BA = 2,5/6,5
Cosinus = 0,384615384...
Angle ABO = 67,38
L'angle ABO mesure ≈ 67° donc l'angle ABC = 67 × 2 = 134°
L'angle ABC mesure 134° au degré près, de même pour l'angle A'B'C' car dans un agrandissement ou une réduction la mesure des angles reste la même.
