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Sagot :
f(x)=e^x-x
1) Déterminer la fonction dérivée de f
f'(x)=e^x-1
2) Montrer que f admet un minimum
f'(x)=0 donne x=0
f'(x)>0 donne x>0
f'(x)<0 donne x<0
donc f admet un minimum en x=0
3) En déduire que pour tout nombre réel x, e^x > x
pour tout réel x : f(x)>f(0)
donc f(x)>1
donc e^x-x>1
donc e^x>x+1>x
donc e^x>x
1) Déterminer la fonction dérivée de f
f'(x)=e^x-1
2) Montrer que f admet un minimum
f'(x)=0 donne x=0
f'(x)>0 donne x>0
f'(x)<0 donne x<0
donc f admet un minimum en x=0
3) En déduire que pour tout nombre réel x, e^x > x
pour tout réel x : f(x)>f(0)
donc f(x)>1
donc e^x-x>1
donc e^x>x+1>x
donc e^x>x
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