Bonjour Alexborocco
Une enquête faite en 2000 aux Etats-Unis auprès de 40000 personnes tirées au hasard a révélé 8040 personnes obèses.
1)a) Calculer la proportion de personnes obèses dans cet échantillon.
[tex]p = \dfrac{8040}{40000}\\\\\boxed{p = 0,201}[/tex]
b) Déterminer l'intervalle de confiance (fourchette de sondage), au seuil de 95%, donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays.
[tex][0,201 - \dfrac{1}{\sqrt{40000}}\ ;\ 0,201 + \dfrac{1}{\sqrt{40000}}][/tex]
L'intervalle de confiance au seuil de 95% donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays est l'intervalle [0,196 ; 0,206]
2) Une autre enquête à la même période, faite auprès de 10000 personnes, dans les même conditions, a révélé 2080 personnes obèses.
Le résultat de cette enquête est-il compatible avec le précédent ?
La proportion de personnes obèses dans cet échantillon est égale à [tex]p = \dfrac{2080}{10000}\\\\\boxed{p = 0,208}[/tex]
L'intervalle de confiance au seuil de 95% donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays est l'intervalle [tex][0,208 - \dfrac{1}{\sqrt{10000}}\ ;\ 0,208 + \dfrac{1}{\sqrt{10000}}][/tex], soit l'intervalle [0,198 ; 0,218].
Le résultat de cette enquête paraît compatible avec le précédent car les intervalles de confiance les concernant ont une partie commune.
On considère que la réelle proportion de personnes obèses dans la population totale des Etats-Unis est le centre de l'intervalle , intersection des deux intervalles de confiance des enquêtes ci-dessus.
3) Calculer cette proportion.
L'intersection des deux intervalles de confiance est [0,198 ; 0,206].
(voir pièce jointe)
Le centre de cet intervalle se trouve en calculant la moyenne arithmétique des bornes.
[tex]\dfrac{0,198 + 0,206}{2} = 0,202.
[/tex]
La réelle proportion de personnes obèses dans la population totale des Etats-Unis est 0,202 (soit 20,2 %)
4) Une enquête faite dans une ville sur 676 personnes obèses révèle 162 personnes obèses.
Doit-on considérer, au seuil de 95%, que cet échantillon est conforme à ce que l'on peut attendre ?
La proportion de personnes obèses dans cet échantillon est égale à [tex]p = \dfrac{162}{676}[/tex]
L'intervalle de confiance au seuil de 95% donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays est l'intervalle [tex][\dfrac{162}{676} - \dfrac{1}{\sqrt{676}}\ ;\ \dfrac{162}{676} + \dfrac{1}{\sqrt{676}}]=[0,201\ ;\ 0,278][/tex]
Cet échantillon est conforme à ce que l'on peut attendre car la valeur p = 0,202 appartient à l'intervalle de confiance [0,201 ; 0,278].
5) Une autre enquête faite dans une autre ville sur 3600 personnes révèle 792 personnes obèses.
Doit-on considérer, au seuil de 95% , que cet échantillon est conforme à ce que l'on peut attendre ?
La proportion de personnes obèses dans cet échantillon est égale à [tex]p = \dfrac{792}{3600}=0,22[/tex]
L'intervalle de confiance au seuil de 95% donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays est l'intervalle [tex][0,22 - \dfrac{1}{\sqrt{3600}}\ ;\ 0,22 + \dfrac{1}{\sqrt{3600}}]=[0,203\ ;\ 0,237][/tex]
Cet échantillon n'est pas conforme à ce que l'on peut attendre car la valeur p = 0,202 n'appartient pas à l'intervalle de confiance [0,203 ; 0,237].
