a) g est une fonction affine, sa courbe représentative est une droite.
G est de la forme g(x)=ax+b
Or g(1)=9 donc a+b=9 soit b=9-a
g(4)=3 donc 4a+b=3 soit 4a+9-a=3
Donc 3a=-6 soit a=-2 donc b=11
g(x)=-2x+11
a<0 donc g est décroissante.
b) f(x)=-x²+2x+8
f(x)=-(x²-2x-8)=-(x²-2*1*x+1-1-8)=-((x-1)²-9)=-(x-1)²+9
Donc α=1 et β=9
c) La courbe de f est une parabole, son sommet est en (1;9) et son axe de symétrie est la droite x=1. Le sommet est un maximum.
d) Soit a et b ∈]-∞;1] tels que a<b
Alors a-1<b-1<0 car a<b<1
donc (a-1)²>(b-1)² car la fonction carré est décroissante sur IR-
⇔-(a-1)²<-(b-1)²
⇔9-(a-1)²<9-(b-1)²
⇔f(a)<f(b) donc f est croissante sur ]-∞;1]
De même :
Soit a et b ∈[1;+∞[ tels que a<b
Alors 0<a-1<b-1 car 1<a<b
donc (a-1)²<(b-1)² car la fonction carré est croissante sur IR+
⇔-(a-1)²>-(b-1)²
⇔9-(a-1)²>9-(b-1)²
⇔f(a)>f(b) donc f est décroissante sur ]-∞;1]
x -∞ 1 +∞
f(x) croissante 9 décroissante
e) Voir graphe joint
f) f(x)=0
⇔-x²+2x+8=0
Δ=2²+4*1*8=36
√Δ=6
x1=(-2+6)/(-2)=-2
x2=(-2-6)/(-2)=4
f(x)=10
⇔-x²+2x+8=10
-x²+2x-2=0
Δ=2²-4*1*2=-4 <0 donc pas de solutions
f(x)≤g(x)
⇔-x²+2x+8≤-2x+11
⇔-x²+4x-3≤0
On cherche les racines de -x²+4x-3
Δ=4²-4*1*3=16-12=4
x1=(-4+2)/(-2)=1
x2=(-4-2)/(-2)=3
Une parabole est du signe de a (coefficient du x²) a l'extérieur des racines donc
-x²+4x-3≤0 sur ]-∞;1]U[3;+∞[
Donc f(x)≤g(x) sur ]-∞;1]U[3;+∞[
