Bonjour Candysaga
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\\\overrightarrow{AB}(-2-1;-1-1)\\\overrightarrow{AB}(-3;-2)\\\\\overrightarrow{AC}(x_C-x_A;y_C-y_A)\\\overrightarrow{AC}(-1-1;4-1)\\\overrightarrow{AC}(-2;3) [/tex]
2) Le triangle ABC est rectangle en A si les droites (AB) et
(AC) sont perpendiculaires.
Montrons que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et
[tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont orthogonaux en montrant que leur produit
scalaire est nul.
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-3)\times(-2)+(-2)\times3\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=6-6\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et
[tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont orthogonaux.
Par conséquent,
le triangle ABC est rectangle en A.
3) Une équation cartésienne de la droite [tex]\Delta[/tex]
est de la forme : ax+by+c=0.
Puisque cette droite est parallèle à (AB), nous pouvons
choisir [tex]\overrightarrow{AB}(-3;-2)[/tex] comme vecteur directeur de la
droite [tex]\Delta[/tex].
D'où (-b;a)=(-3;-2)
On en déduit que b=3 et a=-2
L'équation cartésienne de la droite [tex]\Delta[/tex] est
donc de la forme : -2x+3y+c=0.
Or le point C(-1;4) appartient à cette droite.
Dans l'équation -2x+3y+c=0, remplaçons x par -1 et y par 4.
[tex](-2)\times(-1)+3\times4+c=0\\2+12+c=0\\c=-14[/tex]
Par conséquent,
une équation cartésienne de la droite [tex]\Delta[/tex] est
[tex]\boxed{-2x+3y-14=0}[/tex]
4) Coordonnées du point D intersection de la droite [tex]\Delta[/tex]
et de l’axe des ordonnées.
Le point D est sur l’axe des ordonnées.
D’où son abscisse vaut 0.
Le point D est sur la droite [tex]\Delta[/tex].
Dans l’équation de [tex]\Delta[/tex], remplaçons x par 0 et
calculons y.
[tex]-2\times0+3y-14=0\\3y-14=0\\\\y=\dfrac{14}{3}[/tex]
D'où, les coordonnées du point D sont
[tex](0;\dfrac{14}{3})[/tex]
[tex]5)\ d_1:15x-3y+14=0[/tex]
a) Pour montrer que D est un point de [tex]d_1[/tex], nous
montrerons que les coordonnées de D vérifient l'équation de [tex]d_1[/tex].
En effet,
[tex]15\times0-3\times\dfrac{14}{3}+14=0-14+14=0[/tex]
Les coordonnées de D vérifient l'équation de [tex]d_1[/tex].
Par conséquent,
D est un point de [tex]d_1[/tex]
b) Montrer que [tex]d_1[/tex] et (BC) sont parallèles.
[tex] d_1\ :\ 15x-3y+14=0[/tex]
Un vecteur directeur de
[tex]d_1[/tex] est [tex]\overrightarrow{v}(-b;a)=(3;15)[/tex]
Les coordonnées de
[tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont
[tex](x_C-x_B;y_C-y_B)=(-1+2;4+1)=(1;5)[/tex]
Montrons que
[tex]\overrightarrow{v}(3;15)[/tex]
et
[tex]\overrightarrow{BC}(1;5)[/tex] sont colinéaires.
On sait que [tex](3;15)=3(1;5)[/tex]
soit
[tex]\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où, les vecteurs
[tex]\overrightarrow{v}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont
colinéaires.
Par conséquent,
les droites [tex]d_1[/tex] et
(BC) sont parallèles.
