Bonjour Nina03
Remarque préalable :
[tex]u_{n+1}=2u_n+u_n^2\\\\u_{n+1}=u_n^2+2u_n\\\\u_{n+1}=u_n^2+2u_n+1-1\\\\u_{n+1}=(u_n^2+2u_n+1)-1\\\\\boxed{u_{n+1}=(u_n+1)^2-1}[/tex]
Question 3 :
Initialisation :
Montrons que [tex]u_1\ge0[/tex]
En effet :
[tex]u_1=2u_0+u_0^2\\\\u_1=2\times(-3)+(-3)^2\\u_1=-6+9\\u_1=3\\\\\boxed{u_1\ge0}[/tex]
Hérédité :
Supposons que pour tout n ≥ 1, on ait : [tex]u_n\ge0[/tex]
Démontrons que [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
En effet :
[tex]u_n\ge0\Longrightarrow u_n+1\ge1\\\\\Longrightarrow (u_n+1)^2\ge1^2\\\\\Longrightarrow (u_n+1)^2\ge1\\\\\Longrightarrow (u_n+1)^2-1\ge1-1\\\\\Longrightarrow (u_n+1)^2-1\ge0\\\\\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}\ge0}\ \ (car\ u_{n+1}=(u_n+1)^2-1)[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la propriété "tout n ≥ 1, on a : [tex]u_n\ge0[/tex]" est vraie.
[tex]4)\ u_{n+1}=2u_n+u_n^2\\\\u_{n+1}=u_n+u_n+u_n^2\\\\u_{n+1}-u_n=u_n+u_n^2\\\\Or\ u_n\ge0\ et\ u_n^2\ge0\Longrightarrow u_n+u_n^2\ge0\\\\D'o\grave{u}\ :\ u_{n+1}-u_n\ge0\\\\\boxed{u_{n+1}\ge u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est croissante.
