Question 4:
U0=z0-1-i c'est la définition car Un=zn-oméga=zn-(1+i)=zn-1-i
donc U0=0-1-i=-1-i
-(1+i)((1+i)/2)^0
=-(1+i)fois1
=-(1+i)
donc LA PROPOSITION EST VRAIE AU RANG n=0 , c'était l'INITIALISATION de la récurrence
HEREDITE: On émet l'hypothèse Un=-(1+i)((1+i)/2)^n
Voyons si Un+1=-(1+i)((1+i)/2)^n+1 car il faut le prouver
La définition de Un+1=z(n+1)-oméga
Or on a démontré à la question 3 que z(n+1)-oméga=(1+i)/2(zn-oméga)
donc U(n+1)=(1+i)/2 (zn-oméga)
Or on a posé Un=zn-oméga , c'est l'énoncé qui nous l'impose avant la question 4
donc zn=Un+oméga
donc U(n+1)=(1+i)/2 (Un+oméga-oméga)
=((1+i)/2) Un
Or on a émis l'hypothèse que Un=-(1+i)((1+i)/2)^n
donc U(n+1)=((1+i)/2)x(-1)x(1+i)x((1+i)/2)^n
=-(1+i)((1+i)/2)((1+i)/2)^n
=-(1+i)((1+i)/2)(1+i)^n/2^n
=-(1+i)((1+i).(1+i)^n)/2.2^n
=-(1+i)((1+i)^(n+1))/2^(n+1)
DONC LA PROPOSITION EST HEREDITAIRE CAR VRAIE AU RANG n+1
Conclusion: La proposition est vraie pour n=0 , elle est héréditaire
donc elle est vraie pour tout n supérieur ou égal à 0
