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Pouvez vous m'aidez pour ce petit exercice s'il vous plait ?
Merci d'avance ( bien detaillé)

Pouvez Vous Maidez Pour Ce Petit Exercice Sil Vous Plait Merci Davance Bien Detaillé class=

Sagot :

Esefiha
Soit P(n) :  tn = n/(n+1)

Initialisation : Vérifions que P(0) est vraie
P(0) : t0 = 0/(0+1) = 0
donc P(0) est vraie

Hérédité :
Soit un entier  n >=0. Supposons P(n) vraie et montrons que P(n) est vraie.
P(n+1) : tn+1 = (n+1)/n+1+1) = (n+1)/(n+2)
tn+1 = (n+1)(n+1)/(n+1)(n+2)
tn+1 = (n²+2n+1)/(n+1)(n+2)
tn+1 = (n²+2n)/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)
tn+1 = n(n+2)/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)
tn+1 = n/(n+1) + 1/(n+1)(n+2)
or
tn = n/(n+1)
d'où
tn+1 = tn + 1/(n+1)(n+2)
donc P(n+1) est vraie

Conclusion :
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0 donc, par récurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel.
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