1) (-1)^0 =1 (-1)^1 = -1 (-1) ^2 =1 donc u(0)=-1 u(1)=2 u(2)= 7/3
à partir de n =1 2n-1 est supérieur à 1 donc positif
de plus (-1)^ n vaut soit -1 soit 1 donc
est compris entre -1 et 1
on en déduit que 3n +(-1)^ n est compris entre 3n-1 et 3n +1
puis que ( 3n +(-1) ^n) /(2n-1) est compris entre (3n-1) /(2n-1) et (3n+1) /(2n-1)
le fait que 2n-1 soit positif fait que l'on ne change pas le sens de l'encadrement
d'où la conclusion
les deux suites (3n-1) /(2n-1) et (3n+1) /(2n-1) ont pour limite 3/2 d'après les règles de calcul de limite et d'aprés le th des gendarmes la suite u(n) a aussi pour limite 3/2
2)calcul de v(n+1) = u(n+1) -0,05 = 0,2u(n) + 0,04 - 0,05
or u(n) = v(n) + 0,05 d'après l'énoncé
suite du calcul
v(n+1) = 0,2 *( v(n) + 0,05) - 0,01 = 0,2*v(n) + 0,01 - 0,01 = 0,2 *v(n)
conclusion la suite v est géométrique de raison 0,2
v(1) = u(1) - 0,05 = - 0,05 et v(0) = v(1) / 0,2 = -0,05 / 0,2 = -0,25
calcul de v(n)= - 0,25 * (0,2)^n
calcul de u(n) = v(n) + 0,05 = -0,25 *(0,2)^n + 0,05
vérification u(1) = -0,25 * 0,2 + 0,05 = 0
comme u(n) = v(n) + 0,05 et comme v(n) a pouir limite 0 car c'est unesuite géométrique de raison 0,2 ( 0,2 < 1) on peut affirmer que u(n) a pour limite
0 + 0,05 = 0,05
