Bonjour,
Partie A :
1)
Tu réponds tout seul pour U1 , U2.
2)
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Tu montres que U1-U0 ≠U2-U1 donc pas arithmétique.
Puis que U1 / U0 ≠U2 / U1 donc pas géométrique.
3) Je ne comprends pas ce qui est écrit. Tout est mélangé dans ton énoncé !!
Je suppose qu'il faut montrer que : U(n+1)=U(n)*1.02+3
La population d'une année sur l'autre augmente de 2% donc ce nombre est multiplié par 1.02 auquel s'ajoute 3 milliers d'habitants.
U(n+1)=U(n)*1.02+3
Partie B :
1) V(n)= U(n)+150
V(n+1)=U(n+1)+150 mais U(n+1)=U(n)*1.02+3
Donc : V(n+1)=U(n)*1.02+3+150
V(n+1)=U(n)*1.02+153
On met 1.02 en facteur :
V(n+1)=1.02*[U(n)+150]--->mais U(n)+150=V(n) donc :
V(n+1)=1.02*V(n)
Ce qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=1.02 et de 1er terme V(0)=U(0)+150=.... --->tu calcules V(0).
On sait que pour une telle suite :
V(n)=V(0)*1.02^n
Tu remplaces V(0) par sa valeur et tu as : V(n)=...*1.02^n
Comme V(n)=U(n)+150 alors U(n)=V(n)-150
Donc U(n)=...*1.02^n-150
On calcule ensuite :
U(n+1)-U(n)
Après un petit calcul , on trouve :
U(n+1)-U(n)=350*1.02^(n+1)-350*1.02^n=350*1.02*1.02^n-350*1.02^n
On met 350*1.02^n en facteur :
U(n+1)-U(n)=350*1.02^n(1.02-1) -->mais 350*0.02=7 donc :
U(n+1)-U(n)=7*1.02^n qui est un nb positif. Donc :
U(n+1)-U(n) > 0 donc U(n+1) > U(n) .
Tu conclus sur la monotonie.
Pour calculer en 2020 donc U(6) tu utilises la formule donnée plus haut qui est:
U(n)=...*1.02^n-150
Je trouve ≈ 244 157 habitants.
