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LolopabamCla1udiabl
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Voici un dm que j'ai, ça fais trois heures que je cogite et j'ai aucune
pistes, pourriez vous m'aider svp ??F(x) est définie sur ]-2;1[U]1;+infini[ par :

F(x)= [-(x-2)^2] / [2(x-1)(x+2)]

1) a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définitions

b) préciser les asymptotes à la courbe Cf

2) Déterminer la valeur des réels a,b,c tels que :

F(x)=a + (bX+c)/((2(x-1)(x+2))

3) déterminer f'

4) dresser un tableau de variation de f

5) déterminer la tengante T à la courbe Cf au point d'abscisse 0Merci pour votre aide

Sagot :

Laurance
1a)si  x tend  vers  -2+    alors   -(x-2)²   tend  vers   -16   et   2(x-1)(x+2)  vers 0- 
donc   F(x)  a pour  limite  + inf
si  x tend  vers  1+    alors   -(x-2)²   tend  vers   -1   et   2(x-1)(x+2)  vers 0+ 
donc   F(x)  a pour  limite  - inf
si  x tend  vers  1-    alors   -(x-2)²   tend  vers   -1   et   2(x-1)(x+2)  vers 0- 
donc   F(x)  a pour  limite  + inf
si  x tend vers +inf  alors F(x) tend vers   -x^2 /(2x^2) =   -1/2  =  - 0,5 
1)b)  asymptotes    x = -2   x  = 1     y  =  -0,5
2   (x-2)²  =  x²  -  4x  -+4    et     (x-1)(x+2)= x²  +x  -2 
x²  - 4x  +  4  =  ( x²  + x  -2 )   + (  - 5x   +  6  ) 
d'où 
[-(x-2)^2] / [2(x-1)(x+2)]  = - [  ( x²  + x  -2 )   + (  - 5x   +  6  )  ]  / [2(x-1)(x+2)]
=  - 1/2    +  (   5x   -  6  )  ]  / [2(x-1)(x+2)]     a = -1/2   b = 5    c = -6
3)  F '(x) =  1/2  *  [   5(x² +x -2)   - (5x-6)(2x+1)  ]  /(x² + x -2)²

=  1/2 *   ( -5x²   +12x  -4  )  / (x²  +x - 2)² 


4)  le signe de  F'(x)  dépend du signe de  -5x²   +12x  -4 

or   - 5x² + 12x  -4  =   -5x²  + 10x  +  2x  -4   =  5x( -x +2)  + 2(x -2) 

-5x² + 12x  -4 =  ( -x +2)( 5x  - 2)   qui est   négatif  sur  ] -2;  2/5 [  et  positif  sur  ] 2/5 ;  1 [  et  ]1 ; 2 [  puis  à nouveau  négatif  sur  ] 2;  +inf [

F est  décroissante ; croissante ; croissante et  décroissante

F(2)= 0           F( 2/5)=  -1 /2 + 25/18  = 16 / 18  =  8 /9

5)  y = F'(0)x + F(0)= -1/2  *x     +  1
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