Sagot :
Bonjour Morganedlp
Exercice 2
[tex]a)\ 1\le x\le16\Longrightarrow \sqrt{1}\le\sqrt{x}\le\sqrt{16}\ \ \ (fctn\ \sqrt{.}\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R}^+)[/tex]
[tex]1\le x\le16\Longrightarrow 1\le\sqrt{x}\le4\\\\1\le x\le16\Longrightarrow 2\times1\le2\sqrt{x}\le2\times4[/tex]
[tex]\boxed{1\le x\le16\Longrightarrow 2\le2\sqrt{x}\le8}[/tex]
[tex]b)\ 1\le x\le10\Longrightarrow 1^3\le x^3\le10^3\ \ (fctn\ cube\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R})[/tex]
[tex]1\le x\le10\Longrightarrow 1\le x^3\le1000\\\\1\le x\le10\Longrightarrow -4\times 1\ge -4\times x^3\ge-4\times 1000[/tex]
[tex]1\le x\le10\Longrightarrow -4\ge -4x^3\ge-4000[/tex]
[tex]\boxed{1\le x\le10\Longrightarrow -4000\le -4x^3\le-4}[/tex]
[tex]c)\ -3\le x\le1\Longrightarrow (-3)\times(-3)\ge(-3)\times x\ge(-3)\times1[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow9\ge-3x\ge-3[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow-3\le-3x\le9[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow-3+7\le-3x+7\le9+7[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow4\le-3x+7\le16[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow\sqrt{4}\le\sqrt{-3x+7}\le\sqrt{16}\ \ \ (\sqrt{.}\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R}^+)[/tex]
[tex]\boxed{-3\le x\le1\Longrightarrow2\le\sqrt{-3x+7}\le4}[/tex]
[tex]d)\ -6\le x\le-2\Longrightarrow -6-1\le x-1\le-2-1[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -7\le x-1\le-3[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow (-7)^3\le (x-1)^3\le(-3)^3[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -343\le (x-1)^3\le-27[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -2\times(-343)\ge -2\times(x-1)^3\ge-2\times(-27)[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow686\ge -2(x-1)^3\ge54[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow54\le -2(x-1)^3\le686[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow54+1\le -2(x-1)^3+1\le686+1[/tex]
[tex]\boxed{-6\le x\le-2\Longrightarrow55\le -2(x-1)^3+1\le687}[/tex]
e) La fonction f est définie par [tex]f(x)=\sqrt{4x-1}[/tex]
Déterminons l'ensemble de définition de cette fonction f.
[tex]4x-1\ge0\\\\4x\ge1[/tex]
[tex]\\\\x\ge\dfrac{1}{4}[/tex]
Donc l'ensemble de définition de f est [tex]D_f=[\dfrac{1}{4};+\infty[[/tex]
Puisque -2 n'appartient pas à cet ensemble Df, le point A(-2;-9) n'appartient pas à la courbe Cf.
f) La fonction g est définie par [tex]g(x)=-(x+3)^3[/tex]
[tex]g(1)=-(1+3)^3=-4^3=-64\neq 64[/tex]
Par conséquent, le point B(1;64) n'appartient pas à la courbe Cg
Exercice 2
[tex]a)\ 1\le x\le16\Longrightarrow \sqrt{1}\le\sqrt{x}\le\sqrt{16}\ \ \ (fctn\ \sqrt{.}\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R}^+)[/tex]
[tex]1\le x\le16\Longrightarrow 1\le\sqrt{x}\le4\\\\1\le x\le16\Longrightarrow 2\times1\le2\sqrt{x}\le2\times4[/tex]
[tex]\boxed{1\le x\le16\Longrightarrow 2\le2\sqrt{x}\le8}[/tex]
[tex]b)\ 1\le x\le10\Longrightarrow 1^3\le x^3\le10^3\ \ (fctn\ cube\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R})[/tex]
[tex]1\le x\le10\Longrightarrow 1\le x^3\le1000\\\\1\le x\le10\Longrightarrow -4\times 1\ge -4\times x^3\ge-4\times 1000[/tex]
[tex]1\le x\le10\Longrightarrow -4\ge -4x^3\ge-4000[/tex]
[tex]\boxed{1\le x\le10\Longrightarrow -4000\le -4x^3\le-4}[/tex]
[tex]c)\ -3\le x\le1\Longrightarrow (-3)\times(-3)\ge(-3)\times x\ge(-3)\times1[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow9\ge-3x\ge-3[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow-3\le-3x\le9[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow-3+7\le-3x+7\le9+7[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow4\le-3x+7\le16[/tex]
[tex]-3\le x\le1\Longrightarrow\sqrt{4}\le\sqrt{-3x+7}\le\sqrt{16}\ \ \ (\sqrt{.}\ est\ croissante\ sur\ \mathbb{R}^+)[/tex]
[tex]\boxed{-3\le x\le1\Longrightarrow2\le\sqrt{-3x+7}\le4}[/tex]
[tex]d)\ -6\le x\le-2\Longrightarrow -6-1\le x-1\le-2-1[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -7\le x-1\le-3[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow (-7)^3\le (x-1)^3\le(-3)^3[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -343\le (x-1)^3\le-27[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow -2\times(-343)\ge -2\times(x-1)^3\ge-2\times(-27)[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow686\ge -2(x-1)^3\ge54[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow54\le -2(x-1)^3\le686[/tex]
[tex]-6\le x\le-2\Longrightarrow54+1\le -2(x-1)^3+1\le686+1[/tex]
[tex]\boxed{-6\le x\le-2\Longrightarrow55\le -2(x-1)^3+1\le687}[/tex]
e) La fonction f est définie par [tex]f(x)=\sqrt{4x-1}[/tex]
Déterminons l'ensemble de définition de cette fonction f.
[tex]4x-1\ge0\\\\4x\ge1[/tex]
[tex]\\\\x\ge\dfrac{1}{4}[/tex]
Donc l'ensemble de définition de f est [tex]D_f=[\dfrac{1}{4};+\infty[[/tex]
Puisque -2 n'appartient pas à cet ensemble Df, le point A(-2;-9) n'appartient pas à la courbe Cf.
f) La fonction g est définie par [tex]g(x)=-(x+3)^3[/tex]
[tex]g(1)=-(1+3)^3=-4^3=-64\neq 64[/tex]
Par conséquent, le point B(1;64) n'appartient pas à la courbe Cg
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