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Joanai0s81010
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Bonjour,
je récupère les sujets de khôlles qui sont tombés dans ma classe cependant
je n'ai pas la correction donc quelqu' un pourrait-il m'aider svp?
Soit un n un entier naturel tel que 3n soit un carré et 5n un cube donc
3n=a² et 5n=b^3, a et b étant des entiers naturels non nuls.

1) Montrer que n divisible par 3 et pas 5² (pas de problèmes pour cette
question)
2) En déduire que 27 (3^3) divise 5n
3) conclure

2)J'ai essayé par congruences modulo 27 ou bien en décomposant n selon les
resultats de la question 1 mais je n'arrive pas du tout à montrer que 5n
est divisible par 27

3) Je dirai qu'un des candidat possible pour b^3 est 5^3x3^3 et donc que
n=675. On a bien une homogénéité car 3x675=45². (Pouvez-vous me dire si
c'est juste svp).

Merci de votre attention

Sagot :

2) 5 et 3 sont premiers (donc fatalement premiers entre eux) ; 3 et 25 divisent n. Écrivons 5n=5 x 25 x 3 x m avec m un entier. On sait que 5n est un cube, donc (5n)^(1/3) est un entier, soit (5n)^(1/3)=5x[(3m)^(1/3)] avec (3m)^(1/3) un entier (<=> 3m est un cube); 3 étant un nombre premier on en déduit 3^3 divise 3m donc 27 divise 5n. Pour finir 5 et 3 sont premiers (et premiers entre eux), en utilisant les propriétés de l'énoncé on en déduit n=5x5x3x3x3=675 Quelle prepa ?
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