Bonjour Tomfernando,
1) Déterminer, en millions, le nombre de visiteurs du site au bout de 10 jours.
[tex]f(t)=2\ln(t)+3\Longrightarrow f(10)=2\ln(10)+3\approx7,605[/tex]
Par conséquent,
au bout de 10 jours, il y a eu environ 7605000 visiteurs.
2) Pour tout t appartenant à l'intervalle [1 ; 14], calculer f '(t).
[tex]f'(t)=(2\ln(t)+3)'\\\\f'(t)=2[\ln(t)]'+3'\\\\f'(t)=2\times\dfrac{1}{t}+0\\\\\boxed{f'(t)=\dfrac{2}{t}}[/tex]
3) Pour tout t appartenant à l'intervalle [1 ; 14], étudier le signe de f '(t).
[tex]t\in[1;14]\Longrightarrow t\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\dfrac{2}{t}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)\ \textgreater \ 0}[/tex]
4) Construire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 14]. On donnera la valeur exacte
de f(14).
[tex]f(1)=2\ln(1)+3=2\times0+3=3\\\\f(14)=2\ln(14)+3\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&1&&&&14 \\ f'(t)&&&+&&\\f(t)&3&&\nearrow&&2\ln(14)+3\\ \end{array}[/tex]
5) Compléter le tableau de valeurs. On arrondira les résultats à 0,1 près.
[tex]\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} x&1&2&4&6&8&10&14 \\ f(t)&3&4,4&5,8&6,6&7,2&7,6&8,3\\ \end{array}[/tex]
6) Construire la représentation graphique Cf de la fonction f.
Voir pièce jointe.
7) Avec la précision permise par le graphique, déterminer graphiquement le nombre de jours nécessaires
pour que le nombre de visiteurs dépasse 8 millions.
Graphiquement, nous voyons que 8 est limage par f d'environ 12,2.
Par conséquent,
pour que le nombre de visiteurs dépasse 8 millions., il faut au moins 12 jours.
8) a) Démontrer que la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle [1 ; 14].
Montrons que F'(t) = f(t).
[tex]F'(t)=[2t\ln(t)+t]'\\\\F'(t)=[2t\ln(t)]'+t'\\\\F'(t)=[2t\ln(t)]'+1\\\\F'(t)=(2t)'\times\ln(t)+(2t)\times[\ln(t)]'+1\\\\F'(t)=2\times\ln(t)+2t\times\dfrac{1}{t}+1\\\\F'(t)=2\ln(t)+2+1\\\\F'(t)=2\ln(t)+3\\\\\boxed{F'(t)=f(t)}[/tex]
b) Calculer la valeur exacte de I.
[tex]\int\limits_1^8f(t)\,dt=[2t\ln(t)+t]\limits_1^8\\\\\int\limits_1^8f(t)\,dt=(2\times8\times\ln(8)+8)-(2\times1\times\ln(1)+1)\\\\\int\limits_1^8f(t)\,dt=(16\ln(8)+8)-(0+1)\\\\\int\limits_1^8f(t)\,dt=16\ln(8)+8-1\\\\\boxed{\int\limits_1^8f(t)\,dt=16\ln(8)+7}[/tex]
c) En déduire le nombre moyen de visiteurs lors de la première semaine.
[tex]\dfrac{1}{7}\int\limits_1^8f(t)\,dt=\dfrac{1}{7}[16\ln(8)+7]\approx 5,753[/tex]
Par conséquent,
le nombre moyen de visiteurs lors de la première semaine est d'environ 5753000 visiteurs
