Bonjour Lailaheluy142
Dessin en pièce jointe.
[tex]a_1=1\\a_2=a_1+4=1+4=5\\a_3=a_2+8=5+8=13\\a_4=a_3+12=13+12=25\\a_5=a_4+16=25+16=41\\a_6=a_5+20=41+20=61\\a_7=a_6+24=61+24=85\\a_8=a_7+28=85+28=113\\a_9=a_8+32=113+32=145\\a_{10}=a_9+36=145+36=181[/tex]
ou encore
[tex]a_1=1\\a_2=a_1+4=1+1\times4=5\\a_3=a_2+8=1+1\times4+2\times4=13\\a_4=a_3+12=1+1\times4+2\times4+3\times4=25\\a_5=a_4+16=1+1\times4+2\times4+3\times4+4\times4=41\\a_6=a_5+20=1+1\times4+2\times4+3\times4+4\times4+5\times4=61\\...\\a_x=1+1\times4+2\times4+3\times4+4\times4+...+(x-1)\times4\\\\\boxed{a_x=1+[1+2+3+...+(x-1)]\times4}[/tex]
Or 1+2+3+...+(x-1) représente la somme des (x-1) premiers nombres naturels non nuls formant une suite arithmétique de raison 1 et dont le premier terme est 1.
Formule de cette somme :
[tex]S=nombre\ de\ termes\times\dfrac{1er\ terme\ +\ dernier\ terme}{2}[/tex]
D'où
[tex]1+2+3+...+(x-1)=(x-1)\times\dfrac{1+(x-1)}{2}\\\\1+2+3+...+(x-1)=(x-1)\times\dfrac{x}{2}\\\\\boxed{1+2+3+...+(x-1)=\dfrac{x(x-1)}{2}}[/tex].
Nous en déduisons donc que
[tex]a_x=1+\dfrac{x(x-1)}{2}\times4\\\\a_x=1+\dfrac{4x(x-1)}{2}\\\\a_x=1+2x(x-1)\\\\a_x=1+2x^2-2x[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{a_x=2x^2-2x+1}[/tex]
Quelques exemples comme preuves :
[tex]a_3=2\times3^2-2\times3+1=2\times9-6+1=18-6+1=13\\\\a_8=2\times8^2-2\times8+1=2\times64-16+1=128-16+1=113\\\\a_{10}=2\times10^2-2\times10+1=2\times100-20+1=200-20+1=181[/tex]
