Bonjour
Sassou5
Exercice 2
Une fonction polynôme de degré 2 admet une équation canonique de la forme [tex]f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex].
Dans le tableau de variation proposé, la fonction f admet un minimum pour [tex]x=\alpha=-2[/tex].
Ce minimum de f est égal à [tex]\beta=1[/tex]
Donc l'équation canonique est de la forme [tex]f(x)=a(x+2)^2+1[/tex]
Or
[tex]f(0)=9\Longleftrightarrow a(0+2)^2+1=9\\\\\Longleftrightarrow a\times4+1=9\\\\\Longleftrightarrow 4a=9-1\\\\\Longleftrightarrow 4a=8\\\\\Longleftrightarrow a=2[/tex]
Par conséquent,
la fonction f est définie sous forme canonique par : [tex]\boxed{f(x)=2(x+2)^2+1}[/tex]
Exercice 3
a) Une fonction polynôme de degré 2 admet une équation canonique de la forme [tex]f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex].
Les sommets des deux jets se trouvent sur l'axe des ordonnées.
Leurs abscisses [tex]\alpha[/tex] sont donc égales à 0.
D'où, la forme canonique de chacune des deux fonctions peut être définie par [tex]x\mapsto a(x-0)^2+\beta[/tex], soit par [tex]\boxed{x\mapsto ax^2+\beta}[/tex]
b) Pour une des paraboles, les coordonnées du sommet sont (0;16).
Donc [tex]\beta=16[/tex].
L'équation est de la forme : f(x) = ax² + 16.
Cette parabole comprend le point (5;0).
Dans cette équation, remplaçons x par 5 et f(x) par 0.
[tex]0=a\times5^2+16\\\\25a+16=0\\\\a=-\dfrac{16}{25}[/tex]
Par conséquent
la première fonction sera définie par : [tex]\boxed{f(x)=-\dfrac{16}{25}x^2+16}[/tex]
Un calcul analogue se fera dans le cas du second jet dont le sommet est (0,14)
Donc [tex]\beta=14[/tex].
L'équation est de la forme : g(x) = ax² + 14.
Cette parabole comprend le point (10;0).
Dans cette équation, remplaçons x par 10 et g(x) par 0.
[tex]0=a\times10^2+14\\\\100a+14=0\\\\a=-\dfrac{14}{100}=-\dfrac{7}{50}[/tex]
Par conséquent
la seconde fonction sera définie par : [tex]\boxed{g(x)=-\dfrac{7}{50}x^2+14}[/tex]
c) L'abscisse du point de croisement des deux jets se déterminera en résolvant l'équation f(x) = g(x)
[tex]-\dfrac{16}{25}x^2+16=-\dfrac{7}{50}x^2+14\\\\-\dfrac{16x^2}{25}+\dfrac{7x^2}{50}=14-16\\\\-\dfrac{32x^2}{50}+\dfrac{7x^2}{50}=-2\\\\-\dfrac{25x^2}{50}=-2\\\\\dfrac{x^2}{2}=2\\\\x^2=4\\\\x=2\ \ ou\ \ x=-2[/tex]
Selon le dessin, le point de croisement possède une abscisse positive.
Donc x = 2.
Dans ce cas,
[tex]f(2)=-\dfrac{16}{25}\times2^2+16\\\\f(2)=-\dfrac{16}{25}\times4+16\\\\f(2)=-\dfrac{64}{25}+\dfrac{400}{16}\\\\\boxed{f(2)=\dfrac{336}{25}=13,44}[/tex]
Par conséquent, les deux jets se croisent à une hauteur de 13,44 mètres.
