Bonjour
Ange240
[tex]1)\ OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}\\\\OM=\sqrt{(x-0)^2+[(x+2)-0]^2}\\\\OM=\sqrt{x^2+(x+2)^2}\\\\OM=\sqrt{x^2+(x^2+4x+4)}\\\\\boxed{OM=\sqrt{2x^2+4x+4}}[/tex]
2)a) La fonction u est une fonction trinôme du second degré qui n'impose aucune condition sur x.
D'où, la fonction u est définie sur R.
b) La fonction trinôme du second degré u sera minimale si x = -4/(2*2) = -4/4 = -1.
La valeur de ce minimum est égale à u(-1) = 2(-1)² + 4(-1) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2.
D'où le tableau de variations de la fonction u sur R :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&+\infty\\u(x)&&\searrow&2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) En utilisant le tableau de variations de la fonction u, nous en déduisons que u(x) > 0 pour toutes les valeurs réelles de x.
Tableau de signe de u(x) :
[tex]\begin{array}{|c|ccc|} x&-\infty&&+\infty\\u(x)&&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\sqrt{2x^2+4x+4}[/tex]
a) f est définie sur R car 2x² + 4x + 4 > 0 pour toutes les valeurs réelles de x (cela a été démontré dans la question 2c))
b) Tableau de variation de f sur R.
[tex]f(x)=\sqrt{u(x)}[/tex]
Donc, la fonction f est la composée de la fonction racine carrée et de la fonction u.
Puisque la fonction "racine carrée" est croissante sur R+, les variations de f seront identiques à celles de u.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&\sqrt{2}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Le tableau de variations de la fonction f montre que [tex]f(x)\ge\sqrt{2}[/tex]
Puisque OM = f(x), nous en déduisons que [tex]OM\ge\sqrt{2}[/tex]