Problème 1
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Je te laisse faire le schéma dans le repère orthonormé... car je ne peux le faire dans ce cadre réponse.
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1] démontrer que ABC est rectangle :
Utilisons la réciproque de Pythagore.
a [4 - (-2)]² = √52
BC = √(Xc - Xb)² + (Yc - Yb)² = √ (2-3)² + [1-2√3 - (+4)]² = √42,8
AC = √Xa - Xc)² + (Ya - Yc)² = √(-1-2)² + [-2 -(1-2√3)]² = √9,2
Avec la réciproque de Pythagore vérifions s'il y a égalité :AB² = AC² + BC²
√52 = √42,8 + √ 9,2
√52 = √52
L'égalité est vérifiée, on peut donc affirmer le le triangle ABC est rectangle en C
2] Démontrer que D est milieu du segment [AB]
Xd = (Xa + Xb) /2 ....... moyenne des abscisses de A et B
Yd = (Ya + Yb) /2.........moyenne des ordonnées de A et B
Xa = -1 Ya = -2
Xb = 3 Yb = 4
D = [(-1+3)/2 ; (-2+4) /2]
Les coordonnées du point D sont D (1 ; 1)
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3] On considère de le point E(1 ; 1-√13)
a) Mesure du segment [DE]
La distance DE est donnée par :
Xe = 1 et Ye = 1-√13
Xd = 1 et Yd = 1
DE = √(Xe - Xd)² + (Ye - Yd)² = √(1-1)² + (1-√13 - 1)²
DE = √13
3b) Démontrer que ABE est un triangle rectangle
AB = √52
Distance AE =√(Xe - Xa)² +(Ye-Ya)² = √[1-(-1)]² + [(1-√13)-(-2)]² = √4,37
Distance BE ) √(1-3)² + [(1-√13)-(+4)]² = √47,63
Verifions la réciproque de Pythagore pour savoir si AB² = AE² + BE²
√52 = √4,37 + √47,63
√52 = √52
Le triangle ABE est rectangle en E d'après la réciproque du théorème de Pythagore puisque l'égalité est vérifiée.
4a) Déterminer les coordonnées du point F
Voici ma suggestion pour simplifier (si on peut dire !)
Comme D est le milieu de l'hypothèse du triangle ABC c'est aussi, par définition, le centre du cercle circonscrit à ABC.
Donc tracer ce cercle de centre D (de diamètre AB soit rayon = DA ou DB)
Ensuite il suffit de tracer F qui sera le diamètre issu de C passant par D jusqu'au cercle...
Conclusion F est un point appartement au cercle de centre D et diamétralement opposé à C (puisque CF est un diamètre du cercle de centre D).
Calculer les coordonnées de F : dire que F est le symétrique de C par rapport à D revient à dire que : D milieu de [CF].
On écrit des égalités de coordonnées en se servant de la formule donnant les coordonnées du milieu d’un segment :
Xd = (Xc + Xf) /2 et Yd = (Yc + Yf) / 2
ou encore2×Xd = Xc + Xf et 2×Yd = Yc+Yf
2×1 = 2 + Xf et 2× 1 = 1-√13 + Yf
2 - 2 = Xf et 2 - 1+√13 = Yf
0 = Xf et 4,9 ≈ Yf
Coordonnées de F (0 ; 4,9)
4b] Montrer que AFBC est un rectangle.
A est diamétralement opposé à B
C est diamétralement opposé à F
[AB] et [CF] se croisent en D.
[AB] est l'hypoténuse commune aux triangles ABC rectangle en C et BAF rectangle en F.
Considérons le quadrilatères AFBC : Il a deux angles droits : angle F et angle C.
[AB] et [CF] sont les diagonales du quadrilatère AFBC car elles se croisent en leur milieu D.
On peut donc en déduire que AFBC est un rectangle.
