Bonjour
Abbar05
[tex]t(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt{x^2+1}-\dfrac{1}{5}(x-6)\\\\\\t'(x)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{1}{5}(1-0)\\\\\\t'(x)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{1}{5}\\\\\\t'(x)=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{1}{5}\\\\\\\boxed{t'(x)=\dfrac{5x-4\sqrt{x^2+1}}{20\sqrt{x^2+1}}}[/tex]
Le dénominateur de t'(x) est strictement positif.
Donc le signe de la dérivée t'(x) est le signe du numérateur.
Etudions ce signe dans l'intervalle [0 ; 6]
Racine de ce numérateur.
[tex]5x-4\sqrt{x^2+1}=0\\\\4\sqrt{x^2+1}=5x\ \ (x\ \textgreater \ 0)\\\\(4\sqrt{x^2+1})^2=(5x)^2\\\\16(x^2+1)=25x^2\\\\16x^2+16=25x^2\\\\25x^2-16x^2=16\\\\9x^2=16\\\\x^2=\dfrac{16}{9}\\\\\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\ \ (car\ x\ \textgreater \ 0)\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\dfrac{4}{3}&&6\\&&&&&\\5x-4\sqrt{x^2+1}&&-&0&+&\\t'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\t(x)&&\searrow&\dfrac{27}{20}=1,35&\nearrow& \end{array}[/tex]
3) Le canot doit accoster au point H tel que OH = 4/3 km.
HB = OB - OH
HB = 6 - 4/3
HB = 18/3 - 4/3
HB = 14/3
Par conséquent, le canot doit accoster à 14/3 de km de B, soit environ à 4,67 km de B
