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Hichem29
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Bonjour j'ai un DM a rendre pour Lundi et je ne comprends pas l'énoncé.
Pouvez-vous m'aider ? :)

Exercice 1:
1) Calculer la somme du produit de quatre entiers consécutifs et de 1.
Conjecturer que cette somme est un carré parfait. (Faire au moins 3 essais)

2) Montrer que, pour tout entier a, on a: a(a+1)(a+1)(a+3)+1 = (a² + 3a+1²) .
En déduire la conjecture de la question 1).

Exercice 2:
1) Calculer la somme de cinq entiers consécutifs. (Faire plusieurs essais)
Emettre une conjecture sur la somme obtenue.

2)Montrer cette conjecture.

Exercice 3:
1) Montrer que le carré d'un nombre pair est un nombre pair.

2) Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.

3) a) Calculer la somme de trois entiers impairs consécutifs.
Vérifier que cette somme est un multiple de 3. (Faire plusieurs essais)
b) Démontrer cette propriété

4) a) Développer et réduire l'expression E = (p+1)² - p² .
b) En déduire que tout nombre impair s'écrit comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
c) Appliquer cette propriété aux entiers 13, 45 et 101.

Merci de votre aide.

Sagot :

Scoladan
Bonjour,


Ex1

1)

2x3x4x5 + 1 = 121 = 11²

5x6x7x8 + 1 = 1681 = 41²

10x11x12x13 + 1 = 17161 = 131²

2) a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1

= (a² + a)(a² + 5a + 6) + 1

= a⁴ + 5a³ + 6a² + a³ + 5a² + 6a) + 1

= a⁴ + 6a³ + 11a² + 6a + 1

Et : (a² + 3a + 1)²

= a⁴ + 3a³ + a² + 3a³ + 9a² + 3a + a² + 3a + 1

= a⁴ + 6a³ + 11a² + 6a + 1

On a donc bien démontré que la somme du produit de 4 entiers consécutifs et de 1 est un carré parfait.

Ex 2

1)

1+2+3+4+5 = 15 = 5x1 + 10

5+6+7+8+9 = 35 = 5x5 + 10

3+4+5+6+7 = 25 = 5x3 + 10

⇒ conjecture : = 5a + 10

2) a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) = 5a + 1 + 2 + 3 + 4 = 5a + 10

Ex 3

1) n pair ⇔ il existe k ∈ N tel que n = 2k

⇒ n² = (2k)² = 4k² donc n² est pair

2) n impair ⇔ il existe k ∈ N tel que n = 2k + 1

⇒ n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 donc impair

3)a) 1 + 3 + 5 = 9 = 3x3

5 + 7 + 9 = 21 = 3x7

etc...

b) n + (n + 2) + (n + 3)

= (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5)

= 6k + 9

= 3(2k + 3) donc multiple de 3

4) a) E = (p+1)² - p² = 2p + 1

b) n = impair ⇒ n = 2k + 1

et 2k + 1 = (k+1)² - k²

Donc n impair ⇔ n = (k+1)² - k²

c) 13 = 2x6 + 1 = (6+1)² - 6² = 7² - 6²    (49 - 36) = 13

45 = 2x22 + 1 = 23² - 22²                       (529 - 484 = 45)

101 = 2x50 + 1 = 51² - 50²                     (2601 - 2500 = 101)
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