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Bonjour, j'ai cet exo et je ne suis pas sûr de mes résultats, pouvez vous m'aider ? Merci.

On supposera connus les résultats suivants :
exp(0)=1
* Pour tous réels x et y, exp(x)×exp(y)=exp(x+y)

1) Démontrer que exp(-x)=1/exp(x)
2)Démontrer, par récurrence, que exp(x)^n=[exp(x)]^n

Sagot :

Quantum
Bonsoir,

1) On a d'une part :
exp(-x) × exp(x)
= exp ( -x+x )
= exp(0)
= 1

Et d'autre part :
exp(x) × 1/exp(x)
= exp(x)/exp(x)
= 1

D'où :
exp(-x)×exp(x) = exp(x)/exp(x)
exp(-x) = 1/exp(x)

Car exp(x) ≠ 0

2) Soit Pn la proposition
Initialisation :
exp(x¹) = exp(x)
exp(x)¹ = exp(x)

P1 vrai

Hérédité : Soit n un entier n fixé
Supposons Pn vraie, montrons Pn+1 vraie

Par hypothèse de récurrence :
exp( nx ) = exp(x)^n
exp( nx ) × exp( x) = exp( x ) ^n × exp(x)
exp( nx+x ) = exp(x)^(n+1)
exp( (n+1)x ) = exp(x)^(n+1)

Pn+1 vraie

Ccl
Greencalogero
Bonsoir,

1) Comme nous supposons que:
exp(0)=1
comme on a x-x=0 donc:
exp(x-x)=1
exp(x+(-x))=1
exp(x)×exp(-x)=1
car exp(x+y)=exp(x)×exp(y)
exp(-x)=1/(exp(-x))---->CQFD

2) Il doit y avoir une boulette dans ton énoncé, tu dois vouloir démontrer que exp(nx)=[exp(x)]^n.
Nous allons tester au rang n=0 donc:
exp(0×x)=exp(0)=1
[exp(x)]^0=1 donc exp(0×x)=[exp(x)]^0 donc c'est vraie au rang n=0
On suppose que cette proposition est vraie au rang n donc on suppose que:
exp(nx)=[exp(x)]^n
Nous allons vérifier que c'est vraie au rang n+1
exp(nx)=[exp(x)]^n, par hypothèse,
exp(nx)×exp(x)=[exp(x)]^n×exp(x)
exp(nx+x)=[exp(x)]^(n+1)
exp(x(n+1))=[exp(x)]^(n+1)---->CQFD

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