Bonsoir, pour tout mon propose, je m'appuie sur le dessin en pièce jointe.
1) On se place dans le triangle OMB rectangle en M donc par Pythagore nous pouvons écrire que:
OM²=MB²+OB²
OM=1 car M est sur le cercle trigonométrique qui est toujours de rayon 1
MB=√[(cosx-cosx)²+(sinx-0)²]=sin(x)
OB=√[(cosx-0)²+(0-0)²]=cos(x)
On peut alors déduire que
1²=cos²x+sin²x---->CQFD
2) Si x∈[π/2;π] alors:
OM=1 car M sur le cercle trigonométrique
MB=√((-cos(x)-(-cos(x))²+(0-sin(x))²)=sin(x)
OB=√((-cos(x)-0)²+(0-0)²)=cos(x)
On retrouve alors la relation de Pythagore:
OM²=OB²+MB²
1=cos²x+sin²x--->CQFD
3) Si x∈[π;3π/2]
OM=1
OB=cos(x)
MB=√((-cos(x)-(-cos(x))²+(-sinx-0)²)=sin(x)
Donc:
OM²=OB²+MB²
1=cos²x+sin²x---->CQFD
Si x∈[3π/2;2π]
OM=1
OB=cos(x)
MB=√((cos(x)-cos(x))²+(-sin(x)-0)²)=sin(x)
On en déduit alors:
1=cos²(x)+sin²(x)---->CQFD
