111 est un multiple du nombre entier A ⇒ A est un diviseur de 111
- On décompose 111 en produit de facteurs premier 111 = 3 x 37, on a donc quatre possibilités pour A: 1, 3, 37, 111
A - B est un entier positif ou nul divisible par 10
- A ≥ B
- (A - B) = 10 k ou k est un entier positif
B est le cube d'un nombre premier
- Il existe N entier tel que B = N³
On essaye avec les valeurs possibles de A
Pour avoir A ≥ B et (A - B) multiple de 10, il faut B soit égal à A, donc B = 1
1³ = 1 donc il s'agit bien d'une valeur valide pour B
Pour avoir, A ≥ B et (A-B) multiple de 10, il faut avoir B = 3
Or 3 n'est pas le cube d'un nombre entier, donc cette valeur de B n'est pas valide
Pour avoir A ≥ B et (A-B) multiple de 10, les valeurs possibles de B sont 7, 17, 27 et 37
7, 17 et 37 ne sont pas les cubes d'un nombre entier
27 = 3³ il s'agit donc d'une valeur valide pour B
Pour avoir A ≥ B et (A-B) multiple de 10, les valeurs possibles pour B sont 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111
Or ces valeurs ne sont pas le cube d'un entier, donc il n'y a pas de valeurs valides pour B
Il y a donc deux solutions possibles (A: 1, B:1) et (A: 37, B: 27)
