Réponse : Bonsoir,
1) L'expression est définie si [tex]-x^{2}+3x+4 \geq 0[/tex], il faut donc étudier le signe de ce trinôme du second degré.
On calcule le discriminant:
[tex]\Delta=3^{2}-4 \times (-1) \times 4=9+16=25\\x_{1}=\frac{-3-\sqrt{25}}{-2} \quad x_{2}=\frac{-3+\sqrt{25}}{-2}\\x_{1}=\frac{-3-5}{-2} \quad x_{2}=\frac{-3+5}{-2}\\x_{1}=4 \quad x_{2}=-1[/tex].
D'après les règles du signe d'un trinôme du second degré, [tex]-x^{2}+3x+4 < 0[/tex], sur l'intervalle [tex]]-\infty;-1[ \cup ]4;+\infty[[/tex] et [tex]-x^{2}+3x+4 \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex][-1;4][/tex].
Donc [tex]\sqrt{-x^{2}+3x+4}[/tex] est définie sur l'intervalle [-1;4].
2) On a:
[tex]\sqrt{-x^{2}+3x+4} \leq 2\\ (\sqrt{-x^{2}+3x+4})^{2} \leq 2^{2} \quad car \; la \; fonction \; carree \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[\\-x^{2}+3x+4 \leq 4\\-x^{2}+3x+4-4 \leq 0\\-x^{2}+3x \leq 0\\x(-x+3) \leq 0[/tex].
On effectue le tableau de signes de x(-x+3) sur [-1;4]:
x -1 0 3 4
x - Ф + +
-x+3 + + Ф -
x(-x+3) - Ф + Ф -
Donc les solutions de l'inéquation est l'intervalle [-1;0]∪[3;4]