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Cela devrait passer avec le raisonnement par récurrence sans problème.
pour la vérification au rang 0, ça pose pas de problème, on remplace par les valeurs et on voit que ça marche pour R0 et R1.
pour l'étape 2, on suppose que c'est vrai au rang n et il faut prouver que c'est vrai au rang n+1, c'est à dire qu'on a bien 0 [tex]\leq[/tex] Rn+2 [tex]\leq[/tex] Rn+1 [tex]\leq[/tex] 1.
Déjà, on va montrer que Rn+2 est compris aussi entre 0 et 1.
0<Rn+1<1
0n multiplie partout par -0,1
0>-0,1 Rn+1>-0,1
on ajoute 1 partout :
1>1 -0,1 Rn+1>0,9>0
On multiplie tout par Rn+1 (cela ne change pas l'ordre puisque Rn+1 est positif car compris entre 0 et 1 d'après notre supposition de départ) :
Rn+1>Rn+1 x (1 -0,1 Rn+1)>0 (plus besoin du 0,9 que j'avais mis précédemment)
et comme Rn+1 est plus petit que 1 cela donne :
1>Rn+1>Rn+2>0 ( car Rn+2 = Rn+1 x (1 -0,1 Rn+1))
CQFD