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Classe LE POULAILLER DE BERNARD Bernard dispose de 25 m de grillage qu'il souhaite utiliser pour construire un poulailler rectangulaire contre un mur. Avec ses 25 m de grillage il aimerait faire le bon choix pour les dimensions de son poulailler afin que ses poules disposent d'un espace suffisant. Les calculs suivants vont apporter une aide. a. On suppose que la distance AD est de 5m. Quelles sont alors les distances BC et CD que Bernard devra grillager? Quelle est l'aire de son poulailler ? Précision : la partie contre Fais une figure sur la feuille (échelle: 1cm pour 1m). le mur n'est pas grillagée. MUR b. On suppose que la distance AD est de 10m. Quelles sont alors les distances BC et CD que Bernard devra grillager ? Quelle est l'aire de son poulailler ? Fais une figure sur une feuille (échelle : 1cm pour 1m). d. Complète ce tableau de valeurs en utilisant les résultats précédents. x 0 1 2 3 4 5 f (x) 6 7 8 9 e. Trace la courbe représentative de la fonction f qui représente l'aire du poulailler en fonction de x. f. Bernard voudrait un poulailler de 50m². Comment peut-il choisir ses dimensions ? Justifie. g. Bernard aimerait un poulailler de 60 m². Comment peut-il choisir ses dimensions ? Justifie. h. Bernard voudrait l'aire la plus grande possible. Comment peut-il choisir ses dimensions ? Quelle est l'aire la plus grande possible ?Justifie. 10 11 12 12,5 D c. Afin d'étudier cette situation on va noter x la distance AD et f(x) l'aire du poulailler correspondant. Quelle est la valeur minimale pour x ? Et la valeur maximale? Sachant que AD=x, quelle est, en fonction de x, la longueur CD ? Justifie que l'aire du poulailler est f(x)=x(25-2x) i. Pour quels choix de x l'aire du poulailler de Bernard est-elle inférieure (ou égale) à 50 m² ? X A date MUR MUR C 915 B 1/2 12 12.5 2/2​

Classe LE POULAILLER DE BERNARD Bernard Dispose De 25 M De Grillage Quil Souhaite Utiliser Pour Construire Un Poulailler Rectangulaire Contre Un Mur Avec Ses 25 class=

Sagot :

Réponse :

a. Si la distance AD est de 5m, alors BC et CD sont également de 5m chacun (car le poulailler est rectangulaire). L'aire du poulailler est

5

×

5

=

25

 

�

2

5×5=25m

2

.

b. Si la distance AD est de 10m, alors BC et CD sont également de 10m chacun. L'aire du poulailler est

10

×

10

=

100

 

�

2

10×10=100m

2

.

c. Complétons le tableau de valeurs en utilisant les résultats précédents :

�

�

(

�

)

0

0

1

18

2

36

3

48

4

50

5

40

6

18

7

0

8

−

32

9

−

72

10

−

100

11

−

116

12

−

120

12.5

−

122.5

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12.5

​

 

f(x)

0

18

36

48

50

40

18

0

−32

−72

−100

−116

−120

−122.5

​

​

d. Traçons la courbe représentative de la fonction

�

(

�

)

=

�

(

25

−

2

�

)

f(x)=x(25−2x).

e. Pour un poulailler de 50m², Bernard peut choisir ses dimensions en résolvant l'équation

�

(

�

)

=

50

f(x)=50, c'est-à-dire

�

(

25

−

2

�

)

=

50

x(25−2x)=50. En résolvant cette équation, on trouve

�

=

2

x=2 ou

�

=

8

x=8. Donc, Bernard peut choisir AD = 2m ou AD = 8m.

f. Pour un poulailler de 60m², Bernard peut résoudre

�

(

�

)

=

60

f(x)=60, c'est-à-dire

�

(

25

−

2

�

)

=

60

x(25−2x)=60. En résolvant cette équation, on trouve

�

≈

1.67

x≈1.67 ou

�

≈

7.67

x≈7.67. Donc, Bernard pourrait choisir une distance AD d'environ 1.67m ou 7.67m, mais il doit éventuellement ajuster les dimensions pour que la somme de BC et CD soit égale à 25m.

g. Pour maximiser l'aire, Bernard peut utiliser le vertex de la fonction quadratique

�

(

�

)

=

�

(

25

−

2

�

)

f(x)=x(25−2x). Le vertex d'une fonction quadratique

�

�

2

+

�

�

+

�

ax

2

+bx+c est donné par

�

=

−

�

2

�

x=−

2a

b

​

. Dans notre cas,

�

=

−

2

a=−2,

�

=

25

b=25, donc le vertex se trouve à

�

=

−

25

2

(

−

2

)

=

25

4

x=−

2(−2)

25

​

=

4

25

​

. Cependant, cette valeur de

�

x est en dehors de l'intervalle [0, 12.5], donc nous devons choisir les extrémités de l'intervalle, soit

�

=

0

x=0 ou

�

=

12.5

x=12.5. La plus grande aire possible est obtenue lorsque

�

=

0

x=0 ou

�

=

12.5

x=12.5, avec une aire de 0.

h. La valeur minimale pour

�

x est 0 (en prenant l'extrémité gauche de l'intervalle [0, 12.5]) et la valeur maximale est 12.5 (en prenant l'extrémité droite de l'intervalle). Pour la longueur CD, sachant que

�

�

=

�

AD=x,

�

�

=

25

−

2

�

CD=25−2x.

i. Pour étudier quand l'aire du poulailler est inférieure (ou égale) à 50 m², résolvons

�

(

25

−

2

�

)

≤

50

x(25−2x)≤50. Cela donne

�

2

−

12.5

�

+

25

≤

0

x

2

−12.5x+25≤0. En utilisant la méthode du discriminant, on peut montrer que cette inéquation a des solutions réelles lorsque

�

x est dans l'intervalle

[

0

,

5

]

[0,5]. Donc, pour

0

≤

�

≤

5

0≤x≤5, l'aire du poulailler est inférieure ou égale à 50 m².

Explications étape par étape :

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