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ABCD est un trapèze rectangle ( voir figure ci- dessous) tel que : AB =6 , AD = 4 et CD = 2 , les longueurs sont en centimètre. Le point M est sur le segment [AD]. Le réel x désigne la longueur AM. On construit le rectangle AMNP où N et P appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB]. On admet qu'alors BP = AM =x. On appelle fonction f la fonction qui au nombre x, en centimètre, associe l'aire en cm² du rectangle AMNP. D GMTA 24 А 2 Cm C 6 Com N 2, les longueurs P B

1. A quel intervalle appartient x?

2. Déterminer l'aire du rectangle AMNP si x = 1 cm, puis si x = 2 cm et enfin si x = 3,5 cm.

3. Déterminer l'aire du rectangle AMNP en fonction de x.

4. On admet que l'aire du rectangle AMNP en fonction de x est définie sur [0;4] par une fonction f qui s'écrit: f(x) = -(x - 3)² +9. (Il se peut que la fonction f ce ne soit pas celle que vous avez trouvé à la question 2, pas de panique, on démontrera plus tard avec les identités remarquables que ces deux fonctions sont égales.) a) Démontrer que la fonction f est croissante sur [0; 3]. Vous prendrez soin de détailler et justifier chaque étape du raisonnement. b) Démontrer que la fonction f est décroissante sur [3; 4]. c) En déduire le tableau de variation de f sur [0; 4]. d) Quelle est l'aire maximale du quadrilatère MNPA? Pour quelle valeur de x est-elle atteinte ? Quelle est alors la forme de MNPA ?
s'il vous plait par pitié aider moi ​

Sagot :

Landaisgabriel

Réponse:

**1. Intervalles de x :**

- Le point M est sur le segment [AD], donc \(0 \leq x \leq 4\).

**2. Aires du rectangle AMNP :**

- Si \(x = 1\), alors \(BP = AM = 1\), l'aire du rectangle est \(1 \times 4 = 4\) cm².

- Si \(x = 2\), alors \(BP = AM = 2\), l'aire du rectangle est \(2 \times 4 = 8\) cm².

- Si \(x = 3,5\), alors \(BP = AM = 3,5\), l'aire du rectangle est \(3,5 \times 4 = 14\) cm².

**3. Aire du rectangle AMNP en fonction de x :**

- L'aire du rectangle est \(x \times 4 = 4x\) cm².

**4. Analyse de la fonction f(x) :**

a) **Démontrer que f est croissante sur [0; 3]:**

- Calcul de la dérivée de \(f(x)\): \(f'(x) = -2(x - 3)\).

- Pour \(x \in [0; 3]\), \(f'(x) \geq 0\), donc \(f\) est croissante sur cet intervalle.

b) **Démontrer que f est décroissante sur [3; 4]:**

- Pour \(x \in [3; 4]\), \(f'(x) \leq 0\), donc \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

c) **Tableau de variation de f sur [0; 4]:**

- Croissante sur [0; 3], décroissante sur [3; 4].

d) **Aire maximale du quadrilatère MNPA :**

- L'aire maximale est atteinte pour \(x = 3\), où \(f(3) = 4 \times 3 = 12\) cm².

- La forme de MNPA est un carré, car \(BP = AM\), et le trapèze initial est rectangle.

Ainsi, l'aire maximale du quadrilatère MNPA est de 12 cm² et elle est atteinte pour \(x = 3\), donnant un carré.

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