85 Compétence Modéliser-Communiquer
Propagation d'une épidémie
Une population est confrontée à une épidémie pen-
dant plusieurs mois. Le nombre de personnes malades,
en millier, est modélisé par une fonction définie sur
0:8] et dont on donne la représentation graphique.
220-
200
180
160
140-
120-
100-
80-
60-
40
20-
7 8 x
La droite passant par les points A(2:96) et B(4:208)
est tangente à la courbe au point A.
On admet que le nombre dérivé (1), pour re[0:8].
représente la vitesse de propagation de l'épidémie au
bout des mois.
0
Partie A. Lectures graphiques
1. Les autorités sanitaires déclenchent une alerte
d'information lorsque le nombre de malades dépasse
40 000 et lève son alerte lorsqu'il repasse en dessous
de 40 000. Quelle est la durée de l'alerte?
2. Déterminer les variations de/ sur [0:8).
3. Au bout de combien de semaines le nombre de
malades est-il maximal? Combien y aura-t-il alors de
personnes malades?
4. Déterminer le nombre dérivé (2). Interpréter.
Partle B. Étude approfondie de l'épidémie
On admet que la fonction représentée ci-dessus est
définie par f(t)=-2³ +12 +321, avec[0:8].
1. a. Résoudre, dans [0:8), l'équation f(t)=0.
b. Interpréter les résultats.
2. À l'aide d'un logiciel de
calcul formel, on a calculé
la valeur de (1) pour tout
réel se [0:8].
1-2-3-1212-32
-5--2222.
fo
<--01²+244 +32
a. Déterminer le nombre de semaines au bout des
quelles la vitesse de propagation semble maximale.
b. Au bout de combien de semaines semble-t-elle
minimale ? Quelle est alors la vitesse minimale de
propagation?
c. Sur quelle période peut-on dire que la propagation de
la maladie est en augmentation, ralentit et régresse?
Justifier. Au bout de combien de mois peut-on parler
d'inflexion de la vitesse de propagation?