Bonjour
Celimegharbi
1) x ∈ [0 ; 5]
La base du parallélépipède est un rectangle dont les dimensions sont (16-2x) et (10-2x) ==> aire de la base = (16-2x)(10-2x)
La hauteur du parallélépipède est x.
D'où le volume de la boîte est V = x(16-2x)(10-2x)
2) Graphique en pièce jointe.
Selon le graphique, nous pouvons conjecturer que le volume de la boîte sera maximal pour x = 2 (cm)
3) V(x) = x(16-2x)(10-2x)
V(x) = x(160 - 32x - 20x + 4x²)
V(x) = x(160 - 52x + 4x²)
V(x) = 160x - 52x² + 4x³
[tex]V(x)=4x^3-52x^2+160x\\\\V'(x)=12x^2-104x+160\\\\\boxed{V'(x)=4(3x^2-26x+40)}[/tex]
[tex]4)\ V'(x)=0\\\\4(3x^2-26x+40)=0\\\\3x^2-26x+40=0\\\\\Delta=(-26)^2-4\times3\times40=676-480=196\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{26-\sqrt{196}}{2\times3}=\dfrac{26-14}{6}=\dfrac{12}{6}=\boxed{2}\\\\x_2=\dfrac{26+\sqrt{196}}{2\times3}=\dfrac{26+14}{6}=\dfrac{40}{6}=\boxed{\dfrac{20}{3}}[/tex]
Au vu de l'observation à la question 2, nous pouvons dire que la conjecture est justifiée.
Par conséquent, le volume de la boîte sera maximal pour x = 2 cm
